Bahan Kuliah MPM 3

Media pendidikan matematika 3 adalah rangkaian perkuliahan untuk membekali mahasiswa dalam pembuatan media pembelajaran matematika. Seperti telah diketahui bersama bahwa di Jurusan Matematika Unnes ada 3 perkuliahan tentang media, yaitu: MPM 1, 2, dan 3.

Media Pendidikan Matematika 1 membekali mahasiswa untuk trampil membuat media pembelajaran berbasis kriya, yaitu media yang dapat dipegang, disentuh, dan dimanipulasi dengan tangan, sebagaimana gambar di bawah ini.

Media Pendidikan Matematika 2  membekali mahasiswa untuk trampil membuat media pembelajaran berbasis perangkat lunak menggunakan software Microsoft Powerpoint, SWiSHmax, 3DsMax, dan perangkat lunak lainnya yang setara. Contoh hasilnya dapat dilihat sebagai berikut:

Nah, untuk Media Pendidikan Matematika 3, mahasiswa akan dibekali ketrampilan membuat aplikasi berbasis Android. Sebagai perbandingan, berikut ini adalah link untuk ke Google Play dari berbagai karya mahasiswa terdahulu yang tergabung di MIPA Mobile Learning. Dan untuk membekali perkuliahan MPM 3 dalam 1 semester ke depan, silakan unduh beberapa bahan ajar yang diperlukan. Selamat bekerja....

1. Modul AppInventor
2. Modul Lembar Kerja yang Bermakna
3. Modul Workshop Pendidikan Matematika untuk pembuatan Film

Latihan Soal Geometri Dasar

Silakan untuk diunduh

1. Soal Latihan 1
2. Soal Latihan 2
3. Soal Latihan 3

Buku Pegangan Para PPLers

Saya punya buku pembelajaran matematika SMP di LPTK yang saya susun bersama kawan-kawan dosen atas biaya dari USAID. Monggo draftnya silakan diunduh disini.

Pemilihan Individu Terbaik

Penilaian Film Media Pendidikan Matematika 3

Pemrograman Input Nilai

Sebagai proyek pertama perkuliahan Pemrograman Komputer 1, berikut adalah snapshot yang harus dibuat. Tugas mestinya individu, namun dalam pekerjaannya silahkan bertiga untuk tiap kelompok, kemudian masing-masing kirim email ke saya. Salam.

Persiapan Perkuliahan

Sebagai awalan dari perkuliahan, maka saya perlu tahu GAYA BELAJAR mahasiswa. Oleh karena itu, ikutilah 3 langkah berikut:

1. Akses VARK Questionaire di tautan bawah atau klik disini. 
2. Isikan berbagai pertanyaan tersebut (ingat pertanyaan dalam bahasa inggris, tidak usah tergesa, karena, sungguh, akan membuat kalian terpana)
3. Setelah selesai, isikan hasilnya pada form di bawah ini!

Bahan Ajar Geometri Analitik

Bahan ajar ini memuat bahan-bahan untuk dipelajari mahasiswa matematika agar mahasiswa memiliki kemampuan memahami konsep-konsep dan teorema dalam geometri melalui pendekatan geometrik-deduktif. Lingkup materi bahan ajar ini meliputi konsep-konsep dan teorema esensial dalam geometri analitik di ruang berdimensi satu (R), dan di ruang berdimensi dua (R²), serta di ruang berdimensi tiga (R³), Disamping itu, melalui buku ajar ini diharapkan mahasiswa dapat meningkatkan keterampilan menerapkan konsep-konsep dan teorema serta membuat grafik bangun ruang di ruang berdimensi dua, dan tiga. Agar kemampuan yang diharapkan dapat dicapai oleh mahasiswa, perlu dikembangkan pengalaman belajar antara lain melalui diskusi kelompok, dan tugas kelompok berbantuan program Maple.

Unduh Bahan Ajar Geometri Analitik di gambar berikut.

Basic Geometry, Book 1: Polygon

Assalamumu'alaikum wr.wb.

Kawan, Sahabat, dan Para Mahasiswaku semuanya. Silahkan unduh soft copy dari handout yang disusun oleh Ibunda Kusni, yang kemudian saya terjemahkan dalam Bahasa Inggris (#maaf kacau, red) dan saya sertai dengan beberapa soal yang saya ambilkan dari buku Challenging Problem in Geometry, tulisan dari Alfred S. Posamentier dan Charles T. Salkind. Semoga bermanfaat. (klik cover buku untuk unduh file)

Buku Ajar Pengantar Dasar Matematika (Drs. Sugiarto, M.Pd.)

Perkuliahan Pengantar Dasar Matematika (PDM) bertujuan agar mahasiswa memiliki kecakapan untuk memahami : Konsep dasar himpunan, macam himpunan, relasi pada himpunan, operasi pada himpunan, himpunan bilangan-bilangan, ralasi, fungsi, bilangan kardinal, logika matematika dan kuantifikasi 

Prasyarat

Perkuliahan Pengantar Dasar Matematika (PDM) tidak memerlukan pengetahuan prasyarat secara khusus. Pengetahuan matematika yang telah didapat di Pendidikan Dasar dan pendidikan menengah sudah cukup sebagai dasar untuk mempelajari materi pokok pada perluliahan PDM. 

Petunjuk Belajar

Strategi yang dikembangkan pada perkuliahan ini adalah startegi hiuristik dengan metode tanya jawab, demonstrasi dan diskusi dilanjutkan dengan presentasi hasil diskusi kelompok, serta pemberian tugas terstruktur (TT) baik tugas individual maupun tugas kelompok. Strategi ini juga mengembangkan kemampuan mahasiswa untuk bereksplorasi dan berelaborasi dalam kegiatan mengonstruk pengetahuan yang berupa pemahaman konsep, prisnsip dan penerapannya dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan teori himpunan dan Pengantar logika matematika. Untuk memantapkan pengetahuan mahasiswa dan untuk menghindari miskonsepsi, maka perlu dilaksanakan kegiatan konfirmasi oleh dosen dan oleh mahasiswa.

Berikut adalah buku ajar mata kuliah Pengantar Dasar Matematika, yang disusun oleh Drs. Sugiarto, M.Pd., dosen Jurusan Matematika Universitas Negeri Semarang

Buku Ajar Geometri Dasar (Drs. Suhito, M.Pd.)

Deskripsi 

Buku ajar ini disusun sebagai salah satu buku wajib yang harus dipelajari mahasiswa matematika agar dapat memberi kemampuan memahami konsep-konsep dan teorema dalam geometri melalui pendekatan geometrik-deduktif. Lingkup materi bahan ajar ini meliputi konsep-konsep dan teorema esensial dalam geometri di ruang berdimensi satu (R), berupa pemahaman konsep-konsep dan teorema dasar yang terdapat dalam aljabar dan geometri dasar antara lain konsep variabel, kalimat terbuka, persamaan, himpunan penyelesaian, teorema Pythagoras, kesebanguan/ kekongruwenan segitiga, dalil de Ceva, dalil Steward. 

Agar kemampuan yang diharapkan dapat dicapai oleh mahasiswa, perlu dikembangkan pengalaman belajar antara lain melalui diskusi kelompok, dan tugas kelompok. 

Prasyarat

Agar mudah mempelajari bahan ajar ini diperlukan prasyarat berupa pemahaman konsep-konsep dan teorema dasar yang terdapat dalam aljabar dan geometri yang telah diperoleh mahasiswa di jenjang pendidikan dasar dan menengah. 

Petunjuk Belajar

Strategi perkuliahan adalah heuristik dengan metode tanya-jawab, diskusi kelompok dilanjutkan dengan presentasi kelompok, pemberian tugas terstruktur baik tugas individual maupun tugas kelompok, serta pendekatan mengajar yang digunakan adalah deduktif.

Cuplikan bagian pendahuluan tersebut dapat ditemui dalam buku ajar Geometri Dasar yang disusun oleh Drs. Suhito, M.Pd., dosen di Jurusan Matematika Universitas Negeri Semarang. Untuk lengkap buku tersebut silahkan unduh file-file berikut:

Congruence of Two Triangle

We shall say that two figures in the plane are similar whenever one is congruent to a dilate of the other. Therefore the two quadrilaterals are similar, since one is just an enlargement of the other. Any two circles are similar, if the two circles have the same radius. We simply take dilation by 1 to satisfy the definition. For the moment, we will study similar triangles, as illustrated below.

Figure 3.1      Dilation of a triangle

We can easily generate similar triangles by dilating a triangle with respect to one of its vertices or with respect to a point 0 not a vertex like shown below.

Figure 3.2      Process of dilating a triangle

Let T be a triangle whose sides have lengths a, b, c respectively. If we dilate T by a factor of r, we obtain a triangle which we denote by rT. The lengths of its sides will be ra, rb, rc, as we saw in the preceding section. Note that r can be any positive number. For instance in Figure below we have drawn triangles T, T, and 2T.

Figure 3.3      Sample of dilating process of a triangle

Denote by T' the dilation of T by r. Let a', b', c' be the lengths of the corresponding sides. Then we have

a' = ra, b' = rb, c' = rc.

Therefore the ratios of the corresponding sides are all equal, that is:

We have seen that if two triangles are similar, then the ratios of the lengths of corresponding sides are equal to a constant r. We now prove the converse.

Definition.
Two triangles which it’s all corresponding side have same length are similar and congruent.

Note:
If both of the triangles have same length side, then it is denoted by SSS.
Notation for congruent is 
Another ways to explain the congruency will be given soon.

Theorem 1.1.
Let T, T' be triangles. Let a, b, c be the lengths of the sides of T, and let a', b', c' be the lengths of the sides of T'. If there exists a positive number r such that

a' = ra, b' = rb, c' = rc,

then the triangles are similar.

Proof.
The dilation by of T' transforms T' into a triangle T’’ whose sides have lengths a, b, c, because

Therefore T, T’’ have corresponding sides of the same length. By condition SSS we conclude that T and T’’ are congruent. Therefore T is congruent to a dilation of T', and triangles T and T' are similar.

Theorem 1.2.
If two triangles are similar, then their corresponding angles have the same measure.

Theorem 1.3.
If two triangles have corresponding angles having the same measure, then the triangles are similar.


Proof.
Let T, T' be the triangles. Let A, B, C be the angles of T and let A', B', C' be the corresponding angles of T'. Let a, b, c and a', b', c' be the lengths of corresponding sides. Let

r = a'/a

be the ratio of the lengths of one pair of corresponding sides. Then a' = ra. Dilation by r transforms T into a triangle T" whose sides have lengths

a" = ra, b" = rb, c" = rc

respectively. The triangles T' and T" have one corresponding side having the same length, namely

a" = a' = ra.

The situation is shown below.

Figure 3.4      Condition of theorem 3.6 and 3.7

We have seen in the previous theorem that dilation preserves the measures of angles. Hence the angles adjacent to this side in T' and T" have the same measure, that is:

m(ÐB') = m(ÐB") and m(ÐC') = m(ÐC").

It follows from the ASA property that T', T" are congruent. Hence T' is congruent to a dilation of T, and hence T' is similar to T, as was to be shown.


Theorem 1.4. 

Two triangle are congruent if
a. there is similar side
b. angle in that side and angle which is opposite to the side is similar
then we called it congruent by SAA.

Theorem  1.5. 

Two triangles are congruent if both of triangles are right angle triangle and one leg and also its hypotenuse is same length.

We let the proof as exercises for the reader.

Soal Induksi Matematika (2)

Assalamu'alaikum wr.wb. Kembali hari ini disajikan satu contoh soal induksi matematika. Sedangkan penjelasan umum mengenai induksi matematika telah tersaji disini.

1. Diberikan P(n) ≡  5²ⁿ - 1 . Tunjukkan P(n) habis dibagi 8, untuk semua n ∈ N.

Penyelesaian:

Tulis:

N : himpunan bilangan asli (Natural).

Diberikan P(n) ≡  5²ⁿ - 1.

Ditunjukkan P(1) benar.

Jelas P(1) ≡  5^2.1 - 1 = 5² - 1 = 25 - 1 = 24

Jelas 24 habis dibagi 8.

Jadi P(1) benar. ... (1*)

Ditunjukkan: Jika P(k) habis dibagi 8 maka P(k + 1) habis di bagi 8. ... (#)

Dipunyai P(k) benar.

Jelas P(k) ≡  5^2k - 1  = 8m, untuk suatu m ∈ N. ... (2*)

Jelas P(k + 1) ≡ 5^2(k+1) - 1

= 5^2k+2 - 1

= 5^2k . 25 - 1

= [(5^2k - 1).25] + 24               [langkah ini merupakan kunci dari pembuktian]

= [8m.25] + 8.3                      [langkah ini sah karena berdasarkan (2*), 5^2k - 1  = 8m]
= 8 . (25m + 3)
= 8p, untuk suatu p = 25m + 3, m, p ∈ N.

Diperoleh P(k + 1) = 8p, untuk suatu p ∈ N.

Jadi P(k + 1) habis dibagi 8. ... (3*)

Dari (1*) dan (3*) disimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua n ∈ N.

Jadi P(N) benar.

Contoh Soal Induksi Matematika

Assalamu'alaikum wr.wb. Kembali hari ini disajikan satu contoh soal induksi matematika. Sedangkan penjelasan umum mengenai induksi matematika telah tersaji disini.

1. Diberikan P(n) ≡ n³ + 5n. Tunjukkan P(n) habis dibagi 6, untuk semua n ∈ N.

Penyelesaian:

Tulis:
N : himpunan bilangan asli (Natural).

Diberikan P(n) ≡ n³ + 5n.

Ditunjukkan P(1) benar.
Jelas P(1) ≡ 1³ + 5.1 = 1 + 5 = 6.
Jelas 6 habis dibagi 6.
Jadi P(1) benar. ... (1*)

Ditunjukkan: Jika P(k) habis dibagi 6 maka P(k + 1) habis di bagi 6. ... (#)

Untuk membuktikan implikasi (#), dibutuhkan lemma (*) berikut:
Pada himpunan bilangan asli berlaku, hasil kali dua bilangan asli berurutan adalah genap, atau dapat ditulis: jika m ∈ N maka berlaku (m).(m + 1) = 2n, untuk suatu n ∈ N.

Dipunyai P(k) benar.
Jelas P(k) ≡ k³ + 5k = 6m, untuk suatu m ∈ N. ... (2*)
Jelas P(k + 1) ≡ (k + 1)³ + 5(k + 1)
= k³ + 3k² + 3k + 1 + 5k + 5
= k³ + 5k + 3k² + 3k + 6
= 6m + 3(k)(k + 1) + 6        [sesuai dengan (2*), k³ + 5k = 6m, untuk suatu m ∈ N]
= 6m + 3.2n + 6
= 6m + 6n + 6                     [sesuai dengan lemma (*) di atas]
= 6.(m + n + 1)
= 6p, untuk suatu p ∈ N.

Diperoleh P(k + 1) = 6p, untuk suatu p ∈ N.
Jadi P(k + 1) habis dibagi 6. ... (3*)

Dari (1*) dan (3*) disimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua n ∈ N.
Jadi P(N) benar.

Mathematical Induction (Induksi Matematika)

Induksi matematika digunakan untuk membuktikan teorema atau definisi yang berlaku untuk semua n anggota bilangan asli. Sebagai contoh, Buktikan: 2n ≤ 2^k, untuk k ∈ N. Jelas tidak mungkin kita akan membuktikan satu persatu dengan mengambil nilai n anggota bilangan asli. Prinsip induksi matematika manjadi satu alat pembuktian yang handal.

Principal of Mathematics Induction.
Let n₀ ∈ N and let P(n) be a statement for each natural number n ≥ n_0.
Suppose that:
(1) The statement P(n₀) is true.
(2) For all k ≥ n₀, the truth of P(k) implies the truth of P(k + 1). 
Then P(n) is true for all n ≥ n₀.

Catatan:
n₀ adalah suku terkecil dari bilangan asli yang memenuhi syarat untuk P(n).

Jadi, jika n₀ yang memenuhi syarat adalah 1, maka induksi matematika dapat dituliskan sebagai berikut:

Misalkan P(n) adalah pernyataan yang berlaku untuk suatu n anggota bilangan Asli.
Jika kondisi berikut berlaku,
(1) P(1) benar, dan
(2) Jika p(k) benar, maka P(k+1) benar,
maka P(n) benar untuk semua anggota bilangan asli, dan dapat ditulis dengan P(N) benar.




Contoh Aplikasi Induksi Matematika.


Contoh [1].
Buktikan: 2n ≤ 2^k, untuk k ∈ N.
Bukti:
Dibuktikan: P(1) benar. Jelas P(1) ≡ 2.1 ≤ 2¹ ≡ 2 ≤ 2.
Jadi P(1) benar. ... (1*)

Dibuktikan: Jika P(k) benar maka P(k+1) benar.
Dipunyai P(k) benar.
Jelas P(k) ≡ 2k ≤ 2^k.
Jelas:
2k ≤ 2^k
≡ 2k + 2 ≤ 2^k + 2
≡ 2k + 2 ≤ 2^k . 2
≡ 2(k+1) ≤ 2^(k+1).
Jadi P(k+1) benar. ... (2*)

Dari (1*) dan (2*) dapat disimpulkan bahwa P(n) berlaku untuk semua n ∈ N.
Jadi P(N) benar.

[Contoh 2].
Diberikan:

Tentukan nilai p dan buktikan kebenarannya!

Penyelesaian:
Dicari nilai p terlebih dahulu.
Jelas:

Jadi nilai p adalah

Dibuktikan bahwa:

Tulis:

Jelas

Jadi P(1) benar. ... (3*)

Dibuktikan: Jika P(k) benar maka P(k + 1) benar.

Dipunyai

Ditunjukkan P(k + 1) juga benar.

Jelas

Jadi P(k + 1) benar. ... (4*)

Dari (3*) dan (4*) dapat disimpulkan bahwa P(n) berlaku untuk semua n ∈ N.
Jadi P(N) benar.

---

Demikian tulisan singkat mengenai induksi matematika dan beberapa contoh aplikasinya. Jika ada pertanyaan, silahkan tuliskan dalam komentar. Pertanyaan bisa langkah-per-langkah atau seluruh kontent perkuliahan. Terima Kasih, selamat belajar, salam sukses.

Wassalamu'alaikum.

A Paralellogram Characteristic Problem

It is known a 4-gon ABCD. The midpoints of AB, CD, BD and AC are P, Q, R, S. Prove that PQ and RS intersects at mid points.

Answer.
The condition above can be drawn below!

Connect PQRS such that it is drawn a smaller 4-gon.

Look at triangle ABD and PBR!
Obvious BP:BA = BR:BD. So that we can conclude that triangle BPR similar to triangle BAD. Thus, we can conclude that PR // AD ……… (1*)

Look at triangle CAD and CSQ!
Obvious CS:CA = CQ:CD. So that we can conclude that triangle CSQ similar to triangle CAD. Thus, we can conclude that QS // AD ……… (2*)

Because PR // AD and QS // AD, then we conclude that PR // QS ……… (3*)

Look at triangle ABC and APS!
Obvious AP:AB = AS:AC. So that we can conclude that triangle APS similar to triangle ABC. Thus, we can conclude that PS // BC ……… (4*)

Look at triangle DRQ and DBC!
Obvious DR:DB = DQ:DC. So that we can conclude that triangle DRQ similar to triangle DBC. Thus, we can conclude that QR // BC ……… (5*)

Because PS // BC and QR // BC, then we conclude that PS // QR ……… (6*)

Because PR // QS and PS // QR, we can conclude that PQRS is a parallelogram by the definition. And its characteristics, by theorem 1.6, we can see that PQ and RS intersects at midpoint of it.

Parallelogram and some of its theorems

Let A, B, C, D be four points which determine the four-sided figure consisting of the four sides AB, BC, CD, and AD. Any four-sided figure in the plane is called a quadrilateral. If the opposite sides of the quadrilateral are parallel, that is, if AB is parallel to CD and AD is parallel to BC, and then the figure is called a parallelogram:

Figure 1. A parallelogram

Note:
Please write,
m(ABC) eq the size of angle ABC, and
d(P, Q) eq the length of segmen PQ.

1.    Parallelogram

Definition.

Parallelogram is a quadrilateral which its corresponding sides are parallel.

Theorem.

1.1. In a parallelogram, the size of opposite angles is same.

Proof.

Look at the figure below.

Figure 2. A parallelogram with its some parts

It is given a parallelogram ABCD.

Prove that m(A) = m(C) and m(B) = m(D).

Draw diagonal AC.

Obvious          

m(A1) = m(C1) (because of alternate interior angles) and

m(A2) = m(C2) (because of alternate interior angles).

We get m(A1) + m(A2) = m(C1) + m(C2)

eq m(A) = m(C).

By the similar step, we get m(B) = m(D).

So the size of opposite angles in a parallelogram is same.

Theorem.

1.2. In a parallelogram, the length of opposite sides is same.

Proof.

Look at the figure 2.

It is given a parallelogram ABCD.

Prove that AB = CD and BC = DA.

Draw diagonal AC.

Look at DABC and DACD

Obvious          

m(A1) = m(C1) (because of alternate interior angles),

m(A2) = m(C2) (because of alternate interior angles), and

AC = AC (because of coincide).

We get triangle ABC kongruent with triangle ACD (because of ASA)

One of the consequence is AB = CD and BC = AD.

Theorem.

1.3. In a parallelogram, both of its diagonals are intersecting in the midpoint of its diagonals.

Proof.

Look at figure below.

Figure 3. A parallelogram with its some parts

It is given a parallelogram ABCD.

Prove that AT = TC and BT = TD.

Look at triangle ATD and triangle BTC.

Obvious           

m(D2) = m(B2) (because of alternate interior angles),

m(A2) = m(C2) (because of alternate interior angles), and

AD = BC (why?).

We get triangle ATD congruent with triangle BTC (because of ASA)

One of the consequence is AT = TC and BT = TD.

So that T is midpoint of AC and T is also midpoint of BD.

Theorem.

1.4. In a quadrilateral, if the size of opposite angles is same, then the quadrilateral given is a parallelogram.

Proof.

Look at the figure 1.

It is given a quadrilateral ABCD and

m(A) = m(C) also m(B) = m(D).

Prove that ABCD is a parallelogram.

Obvious the sum of all angles in 4-gon is (4 – 2).180^o = 360^o

Obvious
m(A) + m(B) + mÐC + mÐD = 360^o

eq m(A) + m(B) + m(A) + m(B) = 360^o

eq 2. m(A) + 2.m(B) = 360^o

eq m(A) + m(B) = 180^o.

We get:

1.    Because of m(A) + m(B) = 180^o then AD // BC.

2.    Because of m(A) + m(B) = 180^o and m(B) = m(D) then m(A) + m(D) = 180^o.

3.    Because of m(A) + m(D) = 180^o then AB // CD.

Because AD // BC and AB // CD, we conclude that quadrilateral ABCD is a parallelogram.

Theorems.

1.5. In a quadrilateral, if the length of opposite sides is same, then the quadrilateral given is a parallelogram.

1.6. In a quadrilateral, if both of diagonals are intersecting one another at the midpoint, then the quadrilateral given is a parallelogram.

1.7. In a quadrilateral, if there are two pairs parallel sides, then quadrilateral given is a parallelogram.

Proof.

We leave the proof for 1.5, 1.6, and 1.7 as exercises.

Kekongruenan untuk Membuktikan Trapesium Sama Kaki

Diberikan lingkaran dengan pusat O dengan jari-jari r. Pada lingkaran tersebut dibangun 2 buah tali busur g dan h sedemikian sehingga g sejajar h. Jika perpotongan g dan h dengan lingkaran terletak di titik PQRS, buktikan bahwa PQRS adalah trapesium sama kaki.

Perhatikan gambar sebagaimana kondisi tersebut di atas.

Bukti:

Tulis

Besar sudut ABC adalah m(ABC), dan

Panjang garis AB adalah d(AB).

Hubungkan pusat lingkaran dengan semua titik P, Q, R, S.

(Catatan: Untuk membuktikan bahwa PQRS trapesium sama kaki, cukup ditunjukkan bahwa segitiga ROP kongruen dengan segitiga QOS)

Jelas RO = PO = QO = OS = r.

(Catatan: Jadi untuk menunjukkan ROP kongruen dengan QOS cukup ditunjukkan bahwa besar sudut QOS = besar sudut ROP)

Bangun diameter lingkaran tegak lurus dengan g.

Jelas segitiga PQO sama kaki mengakibatkan TO adalah garis tinggi segitiga PQO. Akibatnya segitiga PTO kongruen dengan segitiga QTO (mengapa?).

Karena PTO kongruen dengan QTO, berakibat m(POT) = m(QOT).

---

Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa m(UOS) = m(UOR).

---

Jelas m(UOS) + m(SOQ) + m(QOT) = m(UOR) + m(ROP) + m(POT) = 180.

Berakibat m(SOQ) = m(ROP).

Karena (i) m(SOQ) = m(ROP); (ii) d(SO) = d(RO); dan (iii) d(QO) = d(PO), maka segitiga SOQ kongruen dengan segitiga ROP karena alasan SAS (Side – Angel – Side).

Karena segitiga SOQ kongruen dengan segitiga ROP, berakibat d(PR) = d(QS), sehingga PQRS adalah trapesium sama kaki.

[CATATAN: BAGAIMANA JIKA TALI BUSUR YANG DIPILIH ADALAH SEBAGAI BERIKUT!]

Drawing a line by a point outside of a line (not linear) and perpendicular to the given line

A little bit different from the construction one, in construction two we the segment first. In construction one, the segment AB is given but in second construction we build the segment.

Question.
Draw a line which is perpendicular to AB and pass through the point P.

Answer.

The principal concept to solve the problem is making perpendicular bisector through point P. The problem now is, which vertex on line that we will choose as center of the arc. From point P, make an arc with P as the center. Choose radius as yours such that the arc intersect the line in two points, namely K and L. See figure 1.16.

As the center, make an arc from K and L, which has radius more than a half of ½KL½. The intersection between arc K and arc L is given name Q. Now, we have explain that the points like construction 1 are K and L, and we build that.

 

Make a line that is connecting P and Q and we get a line PQ that is perpendicular to line AB through point P outside the line of AB.

Memahami Peranan Matematika Dalam Pengembangan Ekonomi

Penggunaan Matematika dalam Ekonomi. Fakta, hakekatnya merupakan besaran-besaran, yang diterjemahkan berupa persamaan, bentuk-bentuk fungsional, atau persamaan differensial. 2 pendekatan dalam penyelesaian masalah ekonomi: analisis matematis dan analisis non matematis. Contoh kasus analisis matematis, dalam memulai kegiatan forex trading pada hari X, saya biasa menggunakan analisis regresi sederhana dengan menggunakan data terbaru pada malam hari sebelumnya. Jadi masalah ekonomi dalam hal pergerakan valuta asing dapat pula dianalisis dengan analisis regresi sederhana. Sedangkan team saya melakukan analisis non matematis dengan melihat pergerakan kebijakan pemerintah dan Bank Indonesia dalam menghadapi masalah moneter.

Translasi penyelesaian masalah ekonomi dengan analisis matematis

Mengapa perlu Matematika dalam Ekonomi?
1. Bahasan matematika lebih ringkas dan tepat
2. Kaya akan hukum-hukum, teorema, sehingga memudahkan pemakaian
3. Dapat merumuskan asumsi dengan jelas sehingga terhindar bias
4. Memungkinkan menggunakan sebanyak mungkin variabel

Masalah Fundamental dalam Ekonomi?
Masalah ekonomi selalu berkembang seiring dengan perkembangan jaman . Mengakibatkan perubahan gaya hidup dan nilai suatu barang. Contohnya sepeda, televisi, radio, handphone , dsb.
Fenomena tersebut secara matematika dirumuskan sbb:

Dengan
Q: qualitas hidup
R: sumber daya alam yang tersedia
C: kebutuhan

Sebagai Akibatnya
Kebutuhan memunculkan nilai barang.
1. Barang ekonomi (economics goods), jika barang tersebut memiliki harga.
2. Barang bebas (free goods), jika barang tersebut tidak memiliki nilai harga.
Jadi masalah fundamental ekonomi berkait pada 3 (hal) yaitu, WHAT, HOW, dan FOR WHOM.

Contoh Masalah:
Masalah Ketahanan Pangan Nasional
What: jenis komoditas apa? Padi yang mana?
How: bagaimana pengembangannya? Siapa dan bagaimana menghasil-
Kannya? Penggunaan faktor-faktor produksi yang tersedia.
For Whom: Siapa yang akan memanfaatkannya.


Uji Kompetensi

1. Temukan satu masalah, pikirkan masalah fundamental ekonomi terkait masalah Anda!
2. Untuk memecahkan fenomena ekonomi dengan menggunakan pendekatan matematika diperlukan 2 translasi. Jelaskan!
3. Ada 4 keuntungan yang diperoleh bila fenomena ekonomi dipecahkan dengan pendekatan matematika. Jelaskan!
4. Batas klasifikasi kebutuhan sekunder dan tersier bagi seseorang relatif tipis. Jelaskan makna pernyataan ini, mohon disertai dengan contoh!
5. Jelaskan masalah fundamental dalam ekonomi!
6. Air yang dihasilkan PDAM merupakan barang ekonomi tetapi di beberapa daerah tertentu air merupakan barang bebas. Jelaskan! Berikan jenis barang yang lain yang memiliki karakteristik seperti air!