Mathematical Induction (Induksi Matematika)

Induksi matematika digunakan untuk membuktikan teorema atau definisi yang berlaku untuk semua n anggota bilangan asli. Sebagai contoh, Buktikan: 2n ≤ 2^k, untuk k ∈ N. Jelas tidak mungkin kita akan membuktikan satu persatu dengan mengambil nilai n anggota bilangan asli. Prinsip induksi matematika manjadi satu alat pembuktian yang handal.

Principal of Mathematics Induction.
Let n₀ ∈ N and let P(n) be a statement for each natural number n ≥ n_0.
Suppose that:
(1) The statement P(n₀) is true.
(2) For all k ≥ n₀, the truth of P(k) implies the truth of P(k + 1). 
Then P(n) is true for all n ≥ n₀.

Catatan:
n₀ adalah suku terkecil dari bilangan asli yang memenuhi syarat untuk P(n).

Jadi, jika n₀ yang memenuhi syarat adalah 1, maka induksi matematika dapat dituliskan sebagai berikut:

Misalkan P(n) adalah pernyataan yang berlaku untuk suatu n anggota bilangan Asli.
Jika kondisi berikut berlaku,
(1) P(1) benar, dan
(2) Jika p(k) benar, maka P(k+1) benar,
maka P(n) benar untuk semua anggota bilangan asli, dan dapat ditulis dengan P(N) benar.




Contoh Aplikasi Induksi Matematika.


Contoh [1].
Buktikan: 2n ≤ 2^k, untuk k ∈ N.
Bukti:
Dibuktikan: P(1) benar. Jelas P(1) ≡ 2.1 ≤ 2¹ ≡ 2 ≤ 2.
Jadi P(1) benar. ... (1*)

Dibuktikan: Jika P(k) benar maka P(k+1) benar.
Dipunyai P(k) benar.
Jelas P(k) ≡ 2k ≤ 2^k.
Jelas:
2k ≤ 2^k
≡ 2k + 2 ≤ 2^k + 2
≡ 2k + 2 ≤ 2^k . 2
≡ 2(k+1) ≤ 2^(k+1).
Jadi P(k+1) benar. ... (2*)

Dari (1*) dan (2*) dapat disimpulkan bahwa P(n) berlaku untuk semua n ∈ N.
Jadi P(N) benar.

[Contoh 2].
Diberikan:

Tentukan nilai p dan buktikan kebenarannya!

Penyelesaian:
Dicari nilai p terlebih dahulu.
Jelas:

Jadi nilai p adalah

Dibuktikan bahwa:

Tulis:

Jelas

Jadi P(1) benar. ... (3*)

Dibuktikan: Jika P(k) benar maka P(k + 1) benar.

Dipunyai

Ditunjukkan P(k + 1) juga benar.

Jelas

Jadi P(k + 1) benar. ... (4*)

Dari (3*) dan (4*) dapat disimpulkan bahwa P(n) berlaku untuk semua n ∈ N.
Jadi P(N) benar.

---

Demikian tulisan singkat mengenai induksi matematika dan beberapa contoh aplikasinya. Jika ada pertanyaan, silahkan tuliskan dalam komentar. Pertanyaan bisa langkah-per-langkah atau seluruh kontent perkuliahan. Terima Kasih, selamat belajar, salam sukses.

Wassalamu'alaikum.