Mathematical Induction (Induksi Matematika)

Induksi matematika digunakan untuk membuktikan teorema atau definisi yang berlaku untuk semua n anggota bilangan asli. Sebagai contoh, Buktikan: 2n 2k, untuk k N. Jelas tidak mungkin kita akan membuktikan satu persatu dengan mengambil nilai n anggota bilangan asli. Prinsip induksi matematika manjadi satu alat pembuktian yang handal.

Principal of Mathematics Induction.
Let n0 N and let P(n) be a statement for each natural number n n0.
Suppose that:
(1) The statement P(n0) is true.
(2) For all k n0, the truth of P(k) implies the truth of P(k + 1). 
Then P(n) is true for all n n0.

Catatan:
n0 adalah suku terkecil dari bilangan asli yang memenuhi syarat untuk P(n).

Jadi, jika n0 yang memenuhi syarat adalah 1, maka induksi matematika dapat dituliskan sebagai berikut:

Misalkan P(n) adalah pernyataan yang berlaku untuk suatu n anggota bilangan Asli.
Jika kondisi berikut berlaku,
(1) P(1) benar, dan
(2) Jika p(k) benar, maka P(k+1) benar,
maka P(n) benar untuk semua anggota bilangan asli, dan dapat ditulis dengan P(N) benar.




Contoh Aplikasi Induksi Matematika.


Contoh [1].
Buktikan: 2n 2k, untuk k N.
Bukti:
Dibuktikan: P(1) benar. Jelas P(1) 2.1 21 2 2.
Jadi P(1) benar. ... (1*)

Dibuktikan: Jika P(k) benar maka P(k+1) benar.
Dipunyai P(k) benar.
Jelas P(k) 2k 2k.
Jelas:
2k 2k
2k + 2 2k + 2
2k + 2 2k . 2
2(k+1) 2(k+1).
Jadi P(k+1) benar. ... (2*)

Dari (1*) dan (2*) dapat disimpulkan bahwa P(n) berlaku untuk semua n N.
Jadi P(N) benar.

[Contoh 2].
Diberikan:
Tentukan nilai p dan buktikan kebenarannya!

Penyelesaian:
Dicari nilai p terlebih dahulu.
Jelas:
Jadi nilai p adalah


Dibuktikan bahwa:

Tulis:
Jelas
Jadi P(1) benar. ... (3*)

Dibuktikan: Jika P(k) benar maka P(k + 1) benar.
Dipunyai
Ditunjukkan P(k + 1) juga benar.
Jelas
Jadi P(k + 1) benar. ... (4*)

Dari (3*) dan (4*) dapat disimpulkan bahwa P(n) berlaku untuk semua n  N.
Jadi P(N) benar.

---

Demikian tulisan singkat mengenai induksi matematika dan beberapa contoh aplikasinya. Jika ada pertanyaan, silahkan tuliskan dalam komentar. Pertanyaan bisa langkah-per-langkah atau seluruh kontent perkuliahan. Terima Kasih, selamat belajar, salam sukses.
Wassalamu'alaikum.

1 comment:

  1. kak, minta tolong dijelaskan.
    kenapa tanda + bisa berubah jadi kali

    Jelas P(k) ≡ 2k ≤ 2k.
    Jelas:
    2k ≤ 2k

    ≡ 2k + 2 ≤ 2k + 2 < tanda +
    ≡ 2k + 2 ≤ 2k . 2 < tanda kali

    mohon bantuannya. terimakasih :)

    ReplyDelete